“本期保举汪晓勤《中华优秀传统数学文化融入初中数学涵养的些许路线》一文。该文发表于《训导连系与挑剔（中学训导涵养）》2022年第6期，并被东说念主大复印贵寓《初中数学教与学》2023年第6期全文转载。同期，本期“正一之数”附有汪晓勤西宾在《训导连系与挑剔》上发表《中华优秀传统数学文化融入高中数学涵养的些许路线》和《中华优秀传统数学文化融入数学涵养的些许路线》（小学内容）二文www 91porn com，供读者参考。”

中华优秀传统数学文化

融入初中数学涵养的些许旅途

汪晓勤

摘记：让中华优秀传统文化进中小学课程(课本)，不单是是一句标语。中国古代数学有着悠久的历史、明后的成就和独到的价值取向。其中不乏与中小学数学课程密切关联的内容。从新知引入、问题假想、认识辨析、定理评释注解、公式推导以及智育执行六个方面，评释中国古代数学史上的问题、认识、念念想、款式以及东说念主物故事等在初中数学涵养中的具体应用。

要道词：中国古代数学史中华优秀传统文化数学文化初中数学

科学史家萨顿(G.Sarton， 1884—1956)说过，科学史是文化史的中枢。在提倡中华优秀传统文化进中小学课程(课本)确当下(1)，中国古代科学史料业已成为伏击的中小学课程资源。

中国古代数学(以下简称“中算”)有着悠久的历史、明后的成就和独到的价值取向。十进位值制记数法、分数四则运算、比例算法、平面多边形面积、多面体体积、线性方程组的解法、天元术、开高次方、高次方程数值解、一次同余组的解法……都曾是教育于宇宙的数学精品，其中不乏与中小学数学课程密切关联的内容。本文试从新知引入、问题假想、认识辨析、定理评释注解、公式推导以及智育执行六个方面，评释中算史上的问题、认识、念念想、款式以及东说念主物故事等在初中数学涵养中的具体应用。

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新知引入方面

诓骗中算史料引入新课的神色有问题引入、款式引入、规则引入等。

联系方程的主题，不错接管中国古代数学名题来引入。举例，可用学生耳熏目染的“鸡兔同笼”或“僧分馒头”问题来引入二元一次方程，或用《唐阙史》中记录的一齐“公事员”试验题来引入：“一位行东说念主傍晚流程一派树林，忽听得林间有东说念主在话语，细听方知是一群窃贼在盘考分赃之事。只听得一个窃贼说：'每东说念主6匹(布)，则多出5匹；每东说念主7匹，则少了8匹。’试问：共有几个窃贼，几匹赃物?”学生之前讲和过雷同的问题，且大致用算术款式或一元一次方程加以惩处。但在只设一个未知数的情况下，呈现数目关系并不浅易，列方程显得很不便捷；而引入两个未知数后，用符号语言呈现数目关系就变得一目了然，从而不错揭示多设一个未知数的必要性。

联系几何定理的主题，不错接管公式或款式来引入。举例，《九章算术》中给出了“圭田”(三角形)的面积公式“半广以乘正从”(半底乘高)。对此，刘徽(约225—约295)的推导款式是“半广知，以盈补虚为直田也”，也等于通过“以盈补虚”(收支相补，如图1所示)，将三角形升沉为矩形，从而得到三角形的面积公式。据此，教师不错从《九章算术》中的三角形面积公式开赴，让学生推导公式，从中引出中位线认识，并由此臆测中位线与底边的位置和大小关系。

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联系有理数运算的主题，不错接管运算规则来引入。《九章算术》中的“正负术”给出了有理数的加减运算规则：作念加法运算时，“异名相除，同名相益”;作念减法运算时，“同名相除，异名相益”。举例，(-5)+(+3)=-(5-3)=-2(异名相除)，(-5)+(-3)=-(5+3)=-8(同名相益)，(+5)-(+3)=+(5-3)=+2(同名相除)，(+5)-(-3)=+(5+3)=+8(异名相益)。可见，正负数相加减，不错通以前符号后的数相加减，效力再加上一个符号来完成。因此，咱们需要给正数或负数去符号后的数取个名字。由此，不错引出全都值的认识。

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问题假想方面

阐明数学史料编制数学问题的计谋，有再现式、情境式、条目式、指标式、对称式、串联式息争脱式七种。(2)

再现式指的是径直接管历史上的问题，除了笔墨翻译之外，原题中的条目和指标保捏不变。以《九章算术》为代表的中国古代数学文籍时时都是以问题集的时局呈现的，为本日的数学涵养提供了丰富多彩的问题。

以二元一次方程组为例，中国古代数学文件记录了许多典型的二元问题——

盈亏问题。这类问题的解法被《九章算术》列为数学的九个门类之一。举例：“今有共买鸡，东说念主出九，盈一十一；东说念主出六，不足十六。问：东说念主数、鸡价各几何?”程大位(1533—1606)在《算法统宗》中也收录了这类问题。举例：“我问开店李三公，众客都来到店中。一房七客多七客，一房九客一房空。”用今天的代数符号抒发，这类问题波及的方程为

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合成问题。这类问题波及两种不同物资的分量或两种不同商品的价钱的打算。举例，《九章算术》建议：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问：玉、石重各几何?”用“盈不足术”惩处。再如，《算法统宗》建议：“今有布绢三十疋，共买价钞五百七，四疋绢价九十贯，三疋布价该五十。欲问绢布各几何，价钞各该分端的，若东说念主算得无差讹，堪把芳名题郡邑。”将问题归入“方程”类，用今天的代数符号抒发，这类问题波及的方程为

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群物问题。这类问题波及两种物品的价钱、容积的打算。举例，《九章算术》记录：“今有大器五、孤寒一，容三斛；大器一、孤寒五，容二斛。问：大、孤寒各容几何?”“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直金几何?”《孙子算经》记录：“今有兽六首四足，禽二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何?”用今天的代数符号抒发，这类问题波及的方程为

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互给问题。这类问题说的是，已知甲、乙二东说念主互给对方部分钱后各自领有的钱数，求二东说念主原有的钱数。举例，《九章算术》记录：“今有甲、乙二东说念主捏钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。问：甲、乙捏钱各几何?”用今天的代数符号抒发，这类问题波及的方程为

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(mi、ni∈N*，mi与ni互素，i=1、 2)。

教师不错按照不同类型来收用史料中的问题，手脚二元一次方程组的例题或习题。

但在很厚情况下，需要接管联系计谋对古代问题作念允洽的改编，或阐明史料编制全新的问题。

举例，阐明《九章算术》中的“勾股容方”问题(“今有勾五步，股十二步，问勾股容方几何?”)，诓骗条目式计谋和串联式计谋，不错假想对于相似三角形应用的问题：

1.如图2，已知直角三角形的勾和股分裂为a和b，求与直角三角形有民众直角的内接正方形的边长。

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2.如图3，已知锐角三角形的底和高分裂为a和h，求锐角三角形内接正方形的边长。

3.阐明上题效力，你能用直尺和圆规作出锐角三角形的内接正方形吗?

摆脱式是阐明史料来设定条目和指标，与其他计谋比较，理解的空间更大。

举例，刘徽用两种款式评释注解了《九章算术》中的“勾股容圆”公式(直角三角形的内切圆直径为直角边长乘积的2倍除以直角三角形的周长)。

第一种款式是，从直角三角形的内心开赴，将直角三角形分割成两对小直角三角形和一个小正方形(如图4所示)，用4对雷同的小直角三角形各拼成4个长方形，用4个雷同的小正方形拼成一个大正方形，再将它们拼成一个长为直角三角形的周长、宽为所求内切圆直径的大长方形。阐明图4，不错假想如下问题：

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1.已知BD=3，AE=4，求Rt△ACB的面积。

2.已知CD=1，BD=x，AE=y，求(x-1)(y-1)的值。

第二种款式是，过直角三角形的内心作斜边的平行线(如图5所示)，利用相似三角形的性质以及比例的性质求得内切圆的直径。具体地，设CB=a，CA=b，AB=c，内切圆的半径为r，因为Rt△GEO与Rt△ACB相似www 91porn com，故得 r a = GE b = GΟ c ，由等比定律得 r a = r+GE+GΟ a+b+c = b a+b+c ，于是得 r= ab a+b+c 。这里，刘徽利用了论断OG=AG，但莫得评释为什么这个论断建立。据此，不错假想以下问题：

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1.如图5，已知O为Rt△ACB的内心，过点O作斜边AB的平行线，分裂交AC和BC于点G和H，评释注解：OG=AG，OH=BH。

2.如图5，在Rt△ACB中，CB=5，CA=12，DH=x，EG=y，已知 x+y= 71 12 ，求x和y。

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认识辨析方面

中算史料在数学涵养中也可用于认识的辨析。

举例，对于二元一次方程组是否只可含两个二元一次方程，不同课本的说法不一。咱们不错从刘徽的界说中寻找谜底。刘徽注《九章算术》时指出：“群物总杂，各列非凡，总言其实。令每行动率，二物者再程，三物者三程，王人如物数程之。比肩为行，故谓之方程。”阐明刘徽的方程(即今天所说的方程组)界说，二元一次方程组含两个方程——有几个未知数，就有几个方程。也等于说，刘徽界说的方程是适定的。咱们不错沿用刘徽的界说。

刘徽的界说也为咱们揭开了方程中“方”的含义。举例，前述《九章算术》中的牛羊问题(属于物群问题)的方程抒发如图6所示。由于古东说念主书写笔墨(摆算筹)是从上至下、自右而左的，按照咱们今天的写法，等于图7所示的增广矩阵。是以，“方程”抒发的是数目关系，但呈现的是方阵的体式——本体上，当代高档数学中的矩阵正源于方程。

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天然咱们今天神用的大无数数学名词都是西方数学的译名，但也有不少名词源于中国古代数学，不外内涵已发生了变化，如“极少”“幂”之类。

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定理评释注解方面

平面几何涵养中，不错用中国古代数学家的款式评释注解一些定理。常常有以下两种情形：

当先，中国古代数学家评释注解了某个定理，教师在涵养中不错用雷同的款式评释注解雷同的定理。举例，对于勾股定理，不错用赵爽(约182—约250)的“弦图”或刘徽的“收支相补”款式，分裂如图8、下页图9所示。

其次，教师在涵养中不错用中国古代数学家评释注解某个定理的款式评释注解别的定理。举例，杨辉(约13世纪中世)曾用“勾中容横、股中容直”旨趣(如下页图10，O是矩形ABCD对角线上一丝，过点O分裂作一组邻边的平行线PQ、RS，则SOPDS=SOQBR)(3)推导测量日高的公式。教师在涵养中不错用雷同的旨趣评释注解三角形一边平行线定理：如图11所示，在△ABC中，已知FG//BC，AD为BC上的高，由“勾中容横、股中容直”旨趣，知S▭FD=S▭FM，S▭GD=S▭GQ，得S▭NI=S▭MR，即FG·AD=BC·AE，有 FG BC = AE AD ，又由 FE BD = EG DC = AE AD 以及勾股定理，可得 AF AB = AG AC 。

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公式推导方面

代数涵养中，不错用中国古代数学家习用的款式推导某些公式。

举例，杨辉在《田亩比类乘除捷法》一书中记录了以下问题与解法(4):(1)“直田积八百六十四步，只云阔不足长十二步，问长阔共几何?术曰：四因积步，以差步自乘，并而开平常除之，得长阔共步。”意思是，已知长方形的面积为864步(平常)，长宽之差为12步，求长宽之和；如图12所示，将四个长方形连同以长宽之差为边长的小正方形拼成一个大正方形，其边长即为长宽之和，故得所求长宽之和为 4×864+ 12 2 =60 (步)。(2)“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何?术曰：四之积步，减和自乘之积，余，开平常除之，得长阔差步。”意思是，已知长方形的面积为864步(平常)，长宽之和为60步，求长宽之差；雷同利用图12，可得长宽之差为 60 2 -4×864 =12 (步)。

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这里，杨辉的几何解法本体上对应于解一元二次方程的配款式(该款式不错上溯至赵爽的《〈周髀算经〉注》):如图13所示，若所解方程为x2+px=q，则对方程变形得4x(x+p)=4q，进一步变形得4x(x+p)+p2=p2+4q，即(2x+p)2=p2+4q ，于是原方程的正根为 x= -p+ p 2 +4q 2 ;雷同地，方程x2-px=q的正根为 x= p+ p 2 +4q 2 。

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智育执行方面

中国古代数学家的故事是数学涵养中执行智育的联想素材。

举例，涵养“平常差公式”时，不错在率领学生用几何款式评释注解平常差公式后，将学生的款式进行古今对照，指出其中一种款式(如下页图14所示)是三国期间数学家赵爽在扫视《周髀算经》时给出的；接着，呈报布衣数学家赵爽“负薪余日，聊不雅《周髀》”的故事，告诉学生：古代数学家为糊口而艰难，却爱戴光阴，勤奋钻研学问，最终取得超越成就。

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再如，中国古代数学文件中的一些测量问题是涵养“相似三角形应用”的联想素材。早在西汉技术，天体裁家就建议了一种测量日高的公式——“重差术”。如图15所示，用长度为a的竿子(“表”)在间距为d的两个方位测日影，得影长s1和s2，则日高为 Η=a+ ad s 2 -s 1 。由于地面并非如西汉技术东说念主们想象的那样是“平”的，故用上述公式测日精粹显是落拓的。到了三国技术，刘徽将“重差术”用于海岛高度的测量，并著《海岛算经》一书。南宋技术，杨辉在阅读《海岛算经》时，对“重差术”产生了浓厚的兴味。他在《续古摘奇算法》一书中写说念：“辉尝置海岛小图于座右，乃是先贤作法之万一。”(5)无庸赘述，杨辉每天对着海岛小图苦念念冥想，寻求古东说念主“秘旨”，直到有一天，终于大梦初醒，得回了“重差术”的推导款式。杨辉所据即上文所说的“勾中容横、股中容直”旨趣。利用该旨趣，图15中有两平等面积的矩形，分裂相减，即得“重差术”。杨辉的故事，不错让学生看到古代数学家精念念勤奋、孜孜以求的磋议精神。

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又如，徐光启(1562—1633)翻译《几何底本》的故事是初中平面几何媒介课的好素材。利玛窦(M.Ricci， 1552—1610)在汉译《几何底本》(前六卷)的媒介中说说念：“客秋，乃询西庠举业，余以格物实义应。及谭几何家之说，余为述此书之精，且陈翻译之难及向来中辍状。先生曰：'吾先正有言，一事不知，儒者之耻。仅此一家已失传，为其学者，王人黧黑摸索耳。既遇此书，又遇子不骄不惜，欲相指授，岂可畏劳玩日，当吾世而失之!呜呼!吾遁迹，难自长大，吾迎难，难自消微，必成之。”(6)利玛窦的这段回忆中，咱们看到徐光启那时心中那份千里甸甸的牵累感和攻坚克难的弘大勇气。今天的学生完全不错从古代数学家的故事中招揽精神的力量。

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结语

以上咱们看到，让中华优秀传统文化进中小学课程(课本)，不单是是一句标语。就数学涵养而言，手脚传统文化不成分割的一部分，中算史为教师提供了丰富多彩的素材和念念想养料，不错用于多样课型和课堂涵养的各个秩序。和宇宙数学史料所具有的训导价值一样，中算史不错匡助教师构建学问之谐、彰显款式之好意思、营造磋议之乐、闭幕才略之助、展示文化之魅，而在达成智育之效方面更具有独到的上风。

就像一个东说念主的念念维神色会打上民族文化的烙迹一样，一个国度的数学训导也毫不成能脱离本国的历史和文化。诚然，中国古代数学阻难实用，阻难算法，莫得勾引起我方的演绎体系，但这毫不是咱们数典忘祖、唯命是从的事理。中国古代数学文化博大深通，本文所举只是腹背之毛。咱们有事理深信，训导取向的中算史连系、中算史融入数学涵养的执行和评价都将是改日HPM限度的伏击课题。

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接待课程与涵养论、

小学训导和学科涵养（数学）专科连系生，

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